Alfred Tarski
(14.01.1901 - 26.10.1983)

Alfred Tarski - prawda, śnieg i nieskończoność

Dla wielu może być to zaskoczeniem, jednak gdy spytamy współczesnych znawców logiki o najważniejszych przedstawicieli tej dyscypliny, to obok Arystotelesa, Fregego i Gödla wymieniony zostanie również Alfred Tarski. Skąd pochodzi ten ważny dla filozofii i matematyki myśliciel? Dlaczego po dziś dzień cieszy się światowym uznaniem? Czego możemy się od niego nauczyć? Na te pytania postaram się odpowiedzieć w poniższym tekście.

Młodość w Warszawie

Alfred Tarski urodził się 14 stycznia 1901 roku w Warszawie jako Alfred Tajtelbaum. Wychował się w dobrze zasymilowanej żydowskiej rodzinie, w której bardzo ceniono edukację, dlatego też od najmłodszych lat poświęcał wiele czasu nauce, zgłębiając m.in. liczne języki obce. Od 1915 roku młody Alfred uczęszczał do Szkoły Mazowieckiej, która słynęła z wysokiego poziomu i uchodziła za placówkę dla przyszłych intelektualistów. Już wtedy nauczyciele rozpoznali jego ponadprzeciętne zdolności. Pomimo że większość życia Tarskiego minęła pod znakiem najpierw intensywnej edukacji, a później tytanicznej pracy naukowej, musimy pamiętać, że przeżył on dwie wojny światowe. Samo jego dorastanie przypadło na czasy burzliwe dla mieszkańców Warszawy. Był to bowiem teren zaboru rosyjskiego, który w trakcie pierwszej wojny światowej, w1915 roku, przeszedł w ręce Niemców jako strategiczny punkt walk.

Początki w Szkole Lwowsko-Warszawskiej

Opuszczenie Warszawy przez Rosjan miało jeden pozytywny dla Tarskiego skutek: Uniwersytet Warszawski stał się oficjalnie polską instytucją, co przyczyniło się m.in. do rozwoju filozoficznej Szkoły Lwowsko-Warszawskiej. Tarski rozpoczął studia na UW w 1918 roku. Co ciekawe, jego pierwszym wyborem nie była ani filozofia, ani logika, lecz biologia. Do zmiany kierunku zachęcił go ówczesny kierownik katedry matematyki, Stanisław Leśniewski¹, który dostrzegł w nim duży potencjał i zachęcił go do studiowania filozofii. W efekcie Tarski już po kilku miesiącach od rozpoczęcia studiów zmienił kierunek. Swój pierwszy artykuł naukowy opublikował już w 1921 roku, czyli w wieku 19 lat. Dotyczył on teorii zbiorów, która od tamtego momentu stała się jednym z głównych wątków dociekań Tarskiego. Warto zauważyć, że w trakcie studiów i późniejszej pracy na UW Tarski obracał się w środowisku matematycznych i filozoficznych geniuszy Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, do których należeli m.in. Tadeusz Kotarbiński², wspomniany Stanisław Leśniewski, Jan Łukasiewicz czy Wacław Sierpiński. Spośród nich mistrzami Tarskiego byli Leśniewski oraz Kotarbiński, którzy stanowili dla niego wzór kolejno w dziedzinie matematyki oraz filozofii.

W tym miejscu warto poświęcić chwilę samej Szkole Lwowsko-Warszawskiej, którą młody Tarski zastał już jako rozwinięte i coraz bardziej uznawane w świecie środowisko naukowe. W zasadzie, jeśli weźmiemy pod uwagę dokonania mistrzów i rówieśników Tarskiego, to zrozumiałym staje się, że w najściślejszych obszarach filozofii i logiki odnajdziemy wiele polskich nazwisk. Jedną z najlepszych rekomendacji wystawionych ówczesnym polskim logikom i matematykom jest wspomnienie Rudolfa Carnapa³, który w 1930 roku przebywał w Warszawie, głównie ze względu na owocną wymianę myśli z Tarskim:

Przekonałem się, że polscy filozofowie wykonali wiele rzetelnej i owocnej pracy w dziedzinie logiki i jej zastosowań do problemów podstawowych, zwłaszcza podstaw matematyki, oraz teorii poznania i ogólnej teorii języka; ich wyniki były prawie nieznane filozofom z innych krajów. Opuszczałem Warszawę wdzięczny za wiele stymulujących sugestii i owocną wymianę idei⁴.

Poza osobistymi relacjami przedstawiciele Szkoły Lwowsko-Warszawskiej utrzymywali regularny kontakt z zachodnim światem matematyki, logiki czy filozofii nauki – zarówno poprzez korespondencję, jak i zagraniczne odczyty oraz publikacje. Jak zaraz się przekonamy, Tarski dosyć szybko dołączył do tego świata, który później miał stać się jego nowym domem.

Rok 1924 był dla Tarskiego, wówczas młodego akademika, bardzo intensywny. W obawie przed panującym w Polsce antysemityzmem, który odebrał wielu Żydom możliwość uniwersyteckiej kariery, zmienił nazwisko i oficjalnie przyjął katolickie wyznanie. Podobnie uczynił również jego brat, Wacław Tarski. Ta ostatnia zmiana, dotycząca zadeklarowanego wyznania, była dla Alfreda o tyle symboliczna, że do końca życia pozostawał on ateistą. Tarski w 1924 roku obronił doktorat jako najmłodsza osoba, której kiedykolwiek w historii UW przyznano ten tytuł. Jego promotorem był wówczas Leśniewski, a praca nosiła tytuł O wyrazie pierwotnym logistyki. Jeszcze w tym samym roku opublikował wraz ze Stefanem Banachem, wybitnym matematykiem, artykuł poruszający zagadnienie, które dzisiaj znane jest na całym świecie pod nazwą paradoksu Banacha-Tarskiego. Zawrotna kariera naukowa nie zwalniała tempa – już rok później Tarski uzyskał habilitację i aż do wybuchu II wojny światowej piastował stanowisko docenta UW. Jako nauczyciel akademicki prowadził wykłady z podstaw matematyki i logiki. W tamtym czasie został również asystentem Jana Łukasiewicza⁵, kolejnego znaczącego przedstawiciela polskiej logiki. Co ciekawe, posada na uczelni nie pozwalała Tarskiemu na utrzymanie się, przez co jednocześnie pracował również jako nauczyciel matematyki w warszawskim Liceum im. Stefana Żeromskiego. 23 czerwca 1929 roku Tarski poślubił Marię Witkowską, która również pracowała w tym liceum.

Podróże z logiką

W tamtym okresie Alfred Tarski zaczął stopniowo zdobywać międzynarodowe uznanie. W lutym 1930 roku odwiedził Uniwersytet Wiedeński, gdzie poznał m.in. Kurta Gödla⁶, który później stał się jednym z najważniejszych teoretyków matematyki i logiki. To właśnie nawiązane tam z rodzącym się Kołem Wiedeńskim kontakty doprowadziły do wizyty Carnapa w Warszawie. W 1933 roku Tarski opublikował pracę, która najprawdopodobniej przyniosła mu największą sławę, Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych. W latach 30. zacieśniły się relacje Tarskiego z filozofami Koła Wiedeńskiego, których osiągnięcia śledził również w ramach swoich licznych wyjazdów naukowych. Warto wspomnieć, że podczas jednego z tych wyjazdów w 1936 roku Carnap namówił Tarskiego do uczestnictwa w Międzynarodowym Kongresie Filozofii Naukowej, który miał odbyć się jeszcze tego samego roku w Paryżu. Odczyt Tarskiego o semantycznej teorii prawdy wzbudził wiele kontrowersji i skłonił organizatorów kongresu do poświęcenia mu dodatkowego panelu.

W 1939 roku za namową amerykańskich logików Tarski udał się na wrześniową Konferencję Jedności Nauki organizowaną na Harvardzie. Tam też zastał go wybuch II wojny światowej. Żonie i dzieciom Tarskiego udało się przetrwać okupację, ale rodzice Tarskiego niestety nie przeżyli wojny. W sprzyjającym towarzystwie filozofów, takich jak Quine, Russell i Carnap, Tarski zaczął powoli zapuszczać korzenie w amerykańskim środowisku naukowym. Podczas pobytu na Harvardzie nawiązał współpracę z logikiem i matematykiem J.C.C. McKinseyem⁷. Współpraca ta z czasem przerodziła się w przyjaźń – prawdopodobnie jedyną, którą udało się Tarskiemu zawiązać w Stanach. Stałe miejsce zatrudnienia znalazł dopiero w 1942 roku na Berkeley, gdzie w 1945 mianowano go profesorem nadzwyczajnym, a w 1948 profesorem zwyczajnym. Oprócz niezmiennie tytanicznej pracy Tarskiemu lata 50. minęły głównie pod znakiem starań nad usamodzielnieniem logiki jako osobnej dyscypliny akademickiej. Tarski aktywnie uczestniczył w powiększaniu jej środowiska naukowego oraz jego ożywianiu poprzez organizowanie kolejnych konferencji, seminariów i publikacji, ale również poszukiwanie wśród studentów nowych talentów logicznych. Jeśli zaś chodzi o tych ostatnich, to należy zwrócić uwagę, iż już w okresie warszawskim Tarski okazał się świetnym dydaktykiem, który z dużym zrozumieniem i pasją prowadził studentów przez najbardziej podstawowe problemy matematyki i logiki. Co więcej, Tarski pozostawił po sobie wielu wybitnych uczniów po obu stronach Atlantyku. Dla swoich podopiecznych był z każdym rokiem coraz bardziej wymagający, co nie przeszkadzało mu w jednoczesnym utrzymywaniu przyjaznych relacji z seminarzystami.

Alfred Tarski zmarł 26 października 1983 roku, mając za sobą mnóstwo międzynarodowych wyróżnień i uznanie świata nauki. Spośród nich warto wymienić chociażby członkostwo amerykańskiej Narodowej Akademii Nauk, Norweskiej Królewskiej Akademii Nauk oraz Akademii Brytyjskiej. Wykładał na Harvardzie, Berkeley, londyńskim University College i paryskim Instytucie Henriego Poincaré. Znajomi zapamiętali go jako towarzyską, a wręcz ekscentryczną postać, której dom pozostawał zawsze otwarty – szczególnie dla polskiej emigracji.

Najważniejsze osiągnięcia

Oprócz przepełnionej pracą i sukcesami biografii Tarskiego nie możemy zapominać o samych jego osiągnięciach, a mianowicie o odkryciach z pogranicza filozofii, matematyki i logiki. Do najważniejszych można zaliczyć sformułowanie wraz ze Stefanem Banachem twierdzenia nazywanego dzisiaj paradoksem Banacha-Tarskiego oraz wypracowanie semantycznej teorii prawdy. Na czym polegają te teorie i dlaczego są tak ważne?

Paradoks Banacha-Tarskiego: problemy z nieskończonością

We wspólnym artykule z 1924 roku Banach i Tarski wyprowadzili następujące twierdzenie: dzięki odpowiednim przekształceniom można z jednej kuli, trójwymiarowej i wypełnionej bryły, uzyskać dwie takie same kule. Brzmi niesamowicie i nieintuicyjnie – stąd też słowo „paradoks”. W jaki sposób autorzy doszli do takiego wniosku? Po pierwsze, mówimy o kuli jako matematycznej bryle, zbiorze punktów, a nie fizycznym obiekcie, którego dotyczy chociażby zachowanie masy albo objętości. Po drugie, jeśli chcielibyśmy rzeczywiście potraktować jakąkolwiek bryłę, czyli trójwymiarowy obiekt, jako zbiór punktów, to liczenie ich trwałoby w nieskończoność.

To właśnie w tym miejscu spoczywa clou całego paradoksu. Aby go zrozumieć, na początek przypomnijmy sobie wzór na obwód koła – figury skądinąd spokrewnionej z kulą. Jest to πr², czyli dwa promienie albo średnica pomnożona przez liczbę π. Ta ostatnia jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie można jej przedstawić jako prostego ułamka z liczb naturalnych, a w formie dziesiętnej daje nam niekończący się strumień cyfr po przecinku. Stąd też obwód koła musi być niewymierny: jeśli chcielibyśmy odmierzyć na nim jakikolwiek odcinek dający się zapisać skończoną liczbą cyfr, to niezależnie od tego, ile takich odcinków przemierzymy, nigdy nie wrócimy do punktu wyjścia. Wszystkie te ciągnące się w nieskończoność miejsca po przecinku liczby π nigdy nie pozwolą nam opisać obwodu przy pomocy takich narzędzi.

Skutek jest następujący: obwód koła można przedstawić przy wykorzystaniu nieskończenie wielu unikalnych punktów. Podobnie jest z kulą, której składowe punkciki można by liczyć w nieskończoność, a więc i odjęcie elementów potrzebnych nam do zbudowania drugiej kuli nie pozostawi w tej nieskończoności żadnego braku, którego nie dałoby się uzupełnić kilkoma przekształceniami. Nieskończoności są zawsze niewzruszone naszym odejmowaniem i dodawaniem, nawet jeśli pozwalają nam na duplikowanie całych brył.

Jakkolwiek twierdzenie Banacha-Tarskiego jest wewnętrznie spójne i matematycznie poprawne, to wynika ono z pewnych konkretnych założeń, głównie tzw. aksjomatu wyboru. Skoro pewne założenia obecne w danych działach matematyki prowadzą do wyników znacznie odbiegających od tego, co spotykamy chociażby w fizyce, oznacza to, iż matematyka jako dziedzina wiedzy musi dogłębnie przemyśleć swój stosunek do rzeczywistości, co od czasu do czasu uskutecznia chociażby dzięki powyższemu paradoksowi.

Semantyczna definicja prawdy: jak się ma język do rzeczy?

Okazuje się, że stosunek do rzeczywistości to nie tylko problem matematyki. Ponieważ Tarski zajmował się również logiką, która uczy nas między innymi o prawdzie, oraz semantyką, czyli nauką o tym, jak działają znaczenia słów, problem ten napotkał również i w tych dziedzinach. W latach 30. Tarskiego najbardziej trapiło zagadnienie z pogranicza logiki i semantyki, a mianowicie pytanie o znaczenie słowa „prawdziwość”. Jest to wszak pojęcie kluczowe dla matematyki, logiki i filozofii. W tej ostatniej dominowała dotychczas tak zwana korespondencyjna teoria prawdy, kojarzona głównie ze Świętym Tomaszem. Według niej prawdziwość zachodzi wtedy, kiedy występuje zgodność myśli z rzeczami. Dla późniejszej filozofii definicja ta okazała się być niewystarczająca, a pytanie o to, na czym miałaby polegać owa „zgodność”, spędzała filozofkom i filozofom sen z powiek.

W swojej przełomowej pracy O pojęciu prawdy w odniesieniu do sformalizowanych nauk dedukcyjnych z 1930 roku Tarski postawił sprawę jasno:

Celem odczytu nie będzie zdefiniowanie prawdziwości jakiegokolwiek zdania języka potocznego; tego uczynić nie potrafimy. Zdefiniujemy prawdziwość zdań, występujących w językach pewnych systemów dedukcyjnych⁸.

Jak widzimy, Tarski ograniczył się do skonstruowanych przez człowieka języków, takich jak chociażby te używane przez logikę albo matematykę. Możemy w nich operować pewnymi zmiennymi, symbolami, które odnoszą się do całych zdań, ale o tym, na co wskazują one w świecie rzeczywistym, decydujemy właściwie my sami, w każdej pojedynczej sytuacji komunikacyjnej albo w przyjętych kulturowo normach i kontekstach. Stąd też słynny już przykład Tarskiego: zdanie „śnieg jest biały” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały⁹. Krok Tarskiego nie polega jedynie na zredukowaniu problemu prawdy do sytuacji sztucznie wytworzonych przez logikę i matematykę, a więc przewidywalnych i ścisłych. Według niego stwierdzenie jednoznacznej prawdziwości w realnym świecie nie należy już do samej logiki, ale do nauk zajmujących się badaniem tego świata. Dla Tarskiego stawiało to semantykę jako dziedzinę wiedzy i ludzkiej działalności w szczególnym świetle, co w pracy Semantyczna koncepcja prawdy i podstawy semantyki wyraził następującymi słowami:

W semantyce nie znajdzie się żadnego panaceum na zepsute zęby, manię wielkości lub konflikty klasowe. Semantyka nie jest również środkiem do wykazania, że wszyscy – z wyjątkiem mówcy i jego przyjaciół – mówią bez sensu¹⁰.

Warto zapamiętać te słowa, gdy w kolejnej debacie słyszymy o wzajemnym zwalczaniu się stron przy pomocy „faktów i logiki”, za którymi nie stoi zazwyczaj nawet krótka chwila namysłu nad tym, czym są fakty i jak właściwie działa logika.

Niemniej dociekania Tarskiego wniosły do owych nauk dedukcyjnych jeszcze jeden istotny postulat: należy odróżnić sam język orzekający o przedmiotach od języka, w którym mówimy o samym języku jako takim. Oba warianty Tarski nazywał kolejno językiem przedmiotowym i metajęzykiem. To jasne rozróżnienie pozwalało na przykład uporać się z paradoksem kłamcy, czyli hipotetyczną sytuacją, w której ktoś, o kim wiemy, że jest kłamcą, wypowiada zdanie „Jestem kłamcą”. Cały problem, według Tarskiego, leży w błędnym kole, które powstaje, gdy wewnątrz jednego języka, w tym przypadku naturalnego i codziennego, dane zdanie wypowiada się o samym sobie. Wszak od tego, czy ktoś rzeczywiście jest permanentnym kłamcą, zależy prawdziwość jego wypowiedzi. Aparat pojęciowy Tarskiego pozwolił na oddzielenie obu tych stron. Nie oznacza to, iż jego teoria prawdy nie natrafiła na swoje paradoksy – przykładem tego może być wypowiedź: „To zdanie nie istnieje”.

Michał Rams-Ługowski 

Bibliografia

• Gómez-Torrente, M., Alfred Tarski, [w:] The Stanford Encyclopedia of Philosophy, red. E.N. Zalta, 2019, https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/tarski/ [dostęp: 12.04.2022].

• O'Connor, J.J., Robertson, E.F., Alfred Tarski (1901-1983), MacTutor History of Mathematics Archive, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tarski/ [dostęp: 12.04.2022].

• Tarski, A., Pisma logiczno-filozoficzne, T. 1, tłum. i red. J. Zygmunt, Warszawa 1995.

• Vsauce, The Banach–Tarski Paradox, YouTube, 01.08.2015 r., https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA [dostęp: 12.04.2022].